原理

论文主要提出了一个名为Proxy Anchor的损失函数.他相比于上图中a,b,c,d的方法.同时考虑了间距的大小作为损失的系数,且利用了整个batch中所有的数据,并用anchor作为proxy使得聚类中心更加明确.

基于pair的损失

对于一些没有利用整个batch所有数据的方法,那就需要依赖采样来取得triplet pair,N-pair等等,这样实际上引用了额外的复杂度.因此使用基于proxy的方法,不需要pair采样的方式.

基于proxy的损失

基于proxy的度量学习是一种相对较新的方法，可以解决基于pair的损失的复杂性问题。proxy表示训练数据子集的代表，并被估计为嵌入网络参数的一部分。此类别中方法的共同思想是推断一小组的proxy，这些proxy捕获嵌入空间的全局结构，并将每个数据点与proxy相关联，而不是训练过程中的其他数据点。由于proxy的数量明显少于训练数据的数量，因此可以大大减少训练的复杂性.

第一个基于proxy的方法为Proxy-NCA,他使用proxies的Neighborhood Component Analysis作为一种近似,首先为每个类别设置一个proxy,将数据点与proxy关联,拉近正类的距离,拉开负类的距离.

使用proxy有助于极大地提高训练的收敛性，但有一个固有的局限性：由于每个数据点仅与proxy相关联，因此基于pair的方法的丰富的数据间关系不再可用。因此提出Proxy Anchor损失可以克服此问题，因为它的梯度可以反映数据的相对联系，这允许它们的嵌入向量在训练过程中相互影响.

Proxy-NCA Loss

首先介绍原本的损失.Proxy-NCA损失将proxy分配给每个类别，proxy的数量与类别标签的数量相同。给定一个输入数据点作为anchor，将同一类输入的proxy视为正，其他proxy为负。令 $x$ 表示输入的嵌入向量， $p^+$ 为正proxy， $p^-$ 为负proxy。损失则为如下:

$\begin{aligned} \ell(X) &=\sum_{x \in X}-\log \frac{e^{s\left(x, p^{+}\right)}}{\sum\limits_{p^{-} \in P^{-}} e^{s\left(x, p^{-}\right)}} \\ &=\sum_{x \in X}\left\{-s\left(x, p^{+}\right)+\underset{p^{-} \in P^{-}}{\operatorname{LSE}} s\left(x, p^{-}\right)\right\} \end{aligned}$

其中 $X$ 为整个batch的嵌入向量, $P^-$ 为负proxy的集合, $s(\cdot,\cdot)$ 表示余弦相似度.其中 $\operatorname{LSE}$ 为log sum exp.熟悉基于softmax损失的同学应该已经看出来了,这里其实就是交叉熵换了个皮.

对于此损失的梯度如下: $\frac{\partial \ell(X)}{\partial s(x, p)}=\left\{\begin{array}{ll} -1, & \text { if } p=p^{+} \\ \frac{e^{s(x, p)}}{\sum\limits_{p^{-} \in P^{-}} e^{s\left(x, p^{-}\right)}}, & \text {otherwise } \end{array}\right.$

训练时会使得 $x$ 与 $p^+$ 尽量接近,使得 $x$ 与 $p^-$ 远离.不过注意到对于正类的梯度是恒定的,对于负类的梯度是有考虑到相似度的.此损失还是比较鲁棒的,但是由于损失仅使每个嵌入向量与proxy相关联，因此它无法利用细粒度的数据间关系。这种缺点限制了通过Proxy-NCA嵌入的能力.

Proxy-Anchor Loss

Proxy-Anchor损失旨在克服Proxy-NCA的局限性，同时保持较低的训练复杂性。主要思想是将每个proxy作为锚，并将其与整个数据批关联，以便在训练过程中数据通过proxy anchor彼此交互。此损失先按照Proxy-NCA的标准设置为每个类别分配一个proxy，公式为:

$\begin{aligned} \ell(X)=& \frac{1}{|P+|} \sum_{p \in P^{+}} \log \left(1+\sum_{x \in X_{p}^{+}} e^{-\alpha(s(x, p)-\delta)}\right) \\ &+\frac{1}{|P|} \sum_{p \in P} \log \left(1+\sum_{x \in X_{p}^{-}} e^{\alpha(s(x, p)+\delta)}\right) \end{aligned}$

这个也是比较老套的设置方法,其中 $\delta$ 为margin, $\alpha$ 为尺度系数.将一个batch中所有的嵌入向量 $X$ 分成两个子集 $X_p^+,X_p^-$ ,其中 $X_p^+$ 表示proxy $p$ 的正样本嵌入向量, $X_p^-$ 则是剩下的所有向量.

将损失换一个形式: $\begin{aligned} \ell(X)=& \frac{1}{\left|P^{+}\right|} \sum_{p \in P^{+}}[\text {Softplus }(\mathop{\operatorname{LSE}}\limits_{x \in X_{p}^{+}} -\alpha(s(x, p)-\delta))] \\ &+\frac{1}{|P|} \sum_{p \in P}\left[\text {Softplus }\left(\mathop{\operatorname{LSE}}\limits_{p \in X_{p}^{-}} \alpha(s(x, p)+\delta)\right)\right] \end{aligned}$

这样更加符合circle loss中所提出的统一形式了.其中这里的 $|P^+|$ 是正样本的统计数量, $|P|$ 是总类别数.~~这个系数我觉得不加也没关系~~...

NOTE 我看了下他官方的代码,实际上什么基于proxy的方法就是额外再加一个可训练的聚类中心...我之前的各种损失函数的实现是直接把最后一层作为聚类中心(也就是他们所说的proxy),这么看来把circle loss拉到度量学习的标准任务里肯定也是很能打的.

额外实验1

我做的cifar10分类实现，实际上batchsize改成500之后 $|P^+|$ 有99.99的概率为10， $|P|$ 为10。我训练结果只和circle loss差0.8个点。然后我认为删除这个系数没有关系，但结果立马打脸了，差7个点了。其实这个问题还是在于 $\alpha$ 系数上面，对于proxy anchor loss和amsoftmax loss来说没有像circle loss中的自适应pace，优化到后期可以说学习率太大也可以说是梯度太大，模型参数波动性会较大。这个实验佐证了自适应pace的重要性。

额外实验2

后面我又做了一下关于 $margin$ 的实验，实际上我们考虑softmax分类的过程，要使他分类难度增强应该是降低正确类别的数值，因此应该是 $s_p=cos(\theta_{y_i})-m$ ，这样才会强制正确类别的向量夹角更小。那么对于不正确的的分类类别，应该是加大他的数值， $s_n=cos(\theta_{j\neq y_i})+m$ ,这样会强制降低向量更加接近垂直。

这里留个小坑，对于circle loss里面的 $margin$ 设置我还是得重新仔细看看。

NOTE 2020-6-23日更新，因为circle loss设置了自定义pace，因此他计算决策面的时候将 $\alpha$ 考虑进去了，所以他得到的 $margin$ 和我之前设想的不一样。然后我又做了一下他的间距分布图，其实这个损失还是可以继续改进的，大家可以看到当 $\cos(\theta_p)=0，\cos(\theta_n)\in(\pi,\frac{\pi}{2})$ 时，对于负pair的损失是较小的。他所说的circle区域实际上是在 $\cos(\theta_p)=0，\cos(\theta_n)=\frac{\pi}{2}$ 有一个更小的凹槽，这里是我们的ideal区域。

接下来如果有老哥可以把 $\cos(\theta_p)=0，\cos(\theta_n)\in(\pi,\frac{\pi}{2})$ 这块区域的损失重新设计一下，应该可以得到更好的收敛效果。

等等。。这样判断太武断了，应该还需要分析一下梯度的变化。我这里就不继续深入了。

Proxy Anchor Loss for Deep Metric Learning论文解读